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一、球相同，盒子相同，且盒子不能空
例1．8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个，有多少种不同的放法？
球入盒问题，可以看成分两步完成，首先是将8个球分成三堆，每堆至少一个. 由于这里球和盒子都相同，每三堆放入3个盒子中只有一种情况，所以只要将8个球分成三堆. 即1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种，故将8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子至少有一个， 有五种不同的放法.
结论：ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（n≥m），不能有空盒时的放法种数等于ｎ分解为ｍ个数的和的种数.
二、球相同，盒子相同，且盒子可以空
例2．8个相同的球放入3个相同的盒子中，有多少种不同的放法？
与上题不同的是分成的三堆中，上题中的每一堆至少有一个球，而这个题中的三堆可以有球数为零的堆，即除了分成上面的五堆外，还可分为1-7、2-6、3-5、4-4和只一堆共五种情况，故8个相同的球放入3个相同的盒子中.，有十种不同的放法.
结论：ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子(n $\geq$ m），可以有空盒时的放法种数等于将ｎ分解为ｍ个、(ｍ－1)个、(ｍ－2)个、$\cdots$、2个、1个数的和的所有种数之和.
三、球相同，盒子不同，且盒子不能空
例3．8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，有多少种不同的放法？（隔板法）
这是个相同的球放入不同的盒子中，与前面不同的是，这里盒子不同，所以不能再用前面的解法. 将8个球排成一排，形成7个空隙，在7个空隙中任取两个插入两块隔板，有=种，这样将8个球分成三堆，第一堆放到1号盒子内，第二堆放到2号盒子内，第三堆放到3号盒子内. 故将8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，有21种不同的放法.
结论：ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n $\geq$ m），不能有空盒的放法数.
四、球相同，盒子不同，且盒子可以空
例4．8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，有多少种不同的放法？
与上一题不同的是，这里可以有盒子没放一个.
还是利用隔板原理将8个球分为三堆，只不过有的堆的球数为零，即在8个球之间插入两块隔板。
首先将8个球排成一排，就有9个空，任取一个空插入一块隔板，有$C^{1}_{9}$种；然后再将第二块隔板插入前面8个球和第一块隔板形成的10个空中，有$C^{1}_{10}$种，但这两种放法中有重复的，要除以2；最后将第一块隔板左边的球放入1号盒子中，两块隔板之间的球放入2号盒子中，第二块隔板右边的球放入3号盒子中，故一共有$\frac{1}{2}C^{1}_{9}C^{1}_{10} = C^{2}_{10} = \frac{10 \times9}{2} = 45$种.
或者，将8个球分成三堆（包括没有0数堆和有0数堆），也就是在8个球的9个空隙中取两个插入隔板或取一个插入两块隔板，即$C^{1}_{9} + C^{2}_{9} = 9 + 36 = 45$种.
例3也可利用上面的分法来解，8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个. 先放一个到每个盒子中，只有一种放法. 然后将剩下的5个球排成一排，插入两块隔板，有$\frac{1}{2}C^{1}_{6}C^{1}_{7} = C^{2}_{7} = \frac{7 \times6}{2} = 21$种.
结论：ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n $\geq$ m），可以有空盒的放法数.
五、球不同，盒子相同，且盒子不能空
例5．8个不同的球放入三个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个，有多少种不同的放法？
由于盒子相同，所以只要对8个不同的球分成三堆就行了，因为放入盒子只有一种情况. 而8个球分成三堆，各堆球数依次为1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种. 对情况1-1-6有$\frac{C^{1}_{8}C^{1}_{7}C^{6}_{6}}{2} $种分法，对情况1-2-5有种$C^{1}_{8}C^{2}_{7}C^{5}_{5}$分法，对情况1-3-4有$C^{1}_{8}C^{3}_{7}C^{4}_{4}$种分法，对情况2-2-4有$\frac{C^{2}_{8}C^{2}_{6}C^{4}_{4}}{2}$种分法，对情况2-3-3有$\frac{C^{2}_{8}C^{3}_{6}C^{3}_{3}}{2}$（注意，分组有几组个数相同即几组均分就要除以几的阶乘）.故一共有$\frac{C^{1}_{8}C^{1}_{7}C^{6}_{6}}{2}+C^{1}_{8}C^{2}_{7}C^{5}_{5}+C^{1}_{8}C^{3}_{7}C^{4}_{4}+\frac{C^{2}_{8}C^{3}_{6}C^{3}_{3}}{2}+\frac{C^{2}_{8}C^{3}_{6}C^{3}_{3}}{2}=966$种.
结论：ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中（n $\geq$ m），不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ堆的种数.
六、球不同，盒子相同，且盒子可以空
例6．8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法？
只比上一题多了两种情况，一是有一堆为0的，即分成两堆，1-7、2-6、3-5、4-4四种情况，有；二是有两堆为0的，即只分成一堆，一种情况. 所以一共有966+127+1=1094种.
结论：ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中（n $\geq$ m），可以有空盒的放法种数等于将ｎ个不同的球分成ｍ堆、(ｍ－1)堆、(ｍ－2)堆、$\cdots$、2堆、1堆的所有种数之和.
七、球不同，盒子不同，且盒子不能空
例7．8个不同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法？
这个问题就等价于“8本不同的书分给3个同学，每人至少有一本，有多少种分法？”
就是在例5先分堆的基础上，再加一步，分到三个不同的盒子中. 即966=5796种.
结论：ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ堆的种数乘以ｍ！.
八、球不同，盒子不同，且盒子可以空
例8．8个不同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，问有多少种不同的放法？
包括分三堆的5796种，还有分两堆的127，还有只分一堆的3种情况，所以一共有5796+762+3=6561种.
结论：ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中（n $\geq$ m），可以有空盒的放法种数等于$m ^ n$种.